$equação Graceli relativista dimensional tensorial quântica de campos$

$\psi ^{*}$

RELATIVIDADE GENERALIZADA GRACELI ENTRE GRAVIDADE, ELETROMAGNETISMO E INTERAÇÕES DE FORÇAS FUNDAMENTAIS. DENTRO DE UM SISTEMA DE ESPAÇO TEMPO CURVO, E DIMENSÕES DE GRACELI.

GEOMETRIA GRACELI TENSORIAL [ É O RAMO DA GEOMETRIA QUE USA TENSORES E DIMENSÕES,[ESPAÇO TEMPO, ESTADO, ESPAÇOS, E DIMENSÕES DE GRACELI.

G $G_{\mu \nu }\$ = TENSOR GEOMÉTRICO DE GRACELI.

$\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ = 1 / N - [PW] { $\psi ^{*}$

$\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ = TENSOR DMENSIONAL QUÂNTICO DE GRACELI.

$\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ = RGG[ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] G [ $G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }\,$ .] [ $F^{\mu \nu }$ $\eta _{\mu \nu }$ $T^{\mu \nu }$ $P^{\mu }\!$ = {[ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ ] / { [ $V(R)=c_{m}R^{m}$ ] [ $G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }\,$ .] $F^{\mu \nu }$ $\eta _{\mu \nu }$ $T^{\mu \nu }$ $P^{\mu }\!$ , { [ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] [ $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$

onde o tensor $G_{\mu \nu }\$ é a curvatura de Einstein,

Em geometria diferencial e na relatividade geral, o tensor de Bach é um tensor livre de traços de 2º grau que é invariavelmente conforme na dimensão n = 4[1]. Antes de 1968, era o único tensor conformalmente invariável conhecido que é algebricamente independente do tensor de Weyl[2].

Em índices abstratos, o tensor de Bach é dado por

B_{ab}=P_{cd}{{{W_{a}}^{c}}_{b}}^{d}+\nabla ^{c}\nabla _{c}P_{ab}-\nabla ^{c}\nabla _{a}P_{bc}

onde $W$ é o tensor de Weyl e $P$ o tensor de Schouten[3][4][5]dado em termos do tensor de Ricci $R_{ab}$ e curvatura escalar $R$ por

P_{ab}={\frac {1}{n-2}}\left(R_{ab}-{\frac {R}{2(n-1)}}g_{ab}\right).

{R_{ij}=R_{iaj}^{a}=\partial _{b}\Gamma _{ji}^{b}-\partial _{j}\Gamma _{bi}^{b}+\Gamma _{bc}^{b}\Gamma _{ji}^{c}-\Gamma _{jc}^{b}\Gamma _{bi}^{c}}

${\boldsymbol {\mu }}$ [ $G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }\,$ .] = RELATIVIDADE GENERALIZADA DE GRACELI.

RGG[ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] G [ $G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }\,$ .] = $({\mathcal {M}},\{\phi _{\alpha }\},g)$ [fG] [ $V(R)=c_{m}R^{m}$ ] [ $G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }\,$ .] [ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] [ $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$

RELATIIVDADE GENERALIZADA GRACELI = GRAVIDADE, ELETROMAGNETISMO, MOMENTUM MAGNÉTICO [ ${\boldsymbol {\mu }}$ ], ondas QUÂNTICA $\psi$ , VELOCIDADE DA LUZ [c].

RGG[ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] G [ $G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }\,$ .] [ $F^{\mu \nu }$ $\eta _{\mu \nu }$ $T^{\mu \nu }$ $P^{\mu }\!$ = { $({\mathcal {M}},\{\phi _{\alpha }\},g)$ [fG] [ $V(R)=c_{m}R^{m}$ ] [ $G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }\,$ .] $F^{\mu \nu }$ $\eta _{\mu \nu }$ $T^{\mu \nu }$ $P^{\mu }\!$ , { [ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] [ $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$

RGG[ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] G [ $G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }\,$ .] = $({\mathcal {M}},\{\phi _{\alpha }\},g)$ [fG] [ $V(R)=c_{m}R^{m}$ ] [ $G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }\,$ .] [ $\eta : M \times M \rightarrow \R$ ] [ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] [ $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$

RELATIIVDADE GENERALIZADA GRACELI = GRAVIDADE, ELETROMAGNETISMO, MOMENTUM MAGNÉTICO [ ${\boldsymbol {\mu }}$ ], ondas QUÂNTICA $\psi$ , VELOCIDADE DA LUZ [c].

RGG[ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] G [ $G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }\,$ .] [ $F^{\mu \nu }$ $\eta _{\mu \nu }$ $T^{\mu \nu }$ $P^{\mu }\!$ = { $({\mathcal {M}},\{\phi _{\alpha }\},g)$ [ $\eta : M \times M \rightarrow \R$ ] [fG] [ $V(R)=c_{m}R^{m}$ ] [ $G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }\,$ .] $F^{\mu \nu }$ $\eta _{\mu \nu }$ $T^{\mu \nu }$ $P^{\mu }\!$ , { [ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] [ $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$

$F^{\mu \nu }$ $\eta _{\mu \nu }$ $T^{\mu \nu }$ $P^{\mu }\!$ ,

${\boldsymbol {\mu }}$ [ $G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }\,$ .] = RELATIVIDADE GENERALIZADA DE GRACELI.

${\mathcal {T}}$

[F G] =FLUXO GRAVITACIONAL.

{ [ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] [ $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$

momentum magnético.

velocidade da luz. ondas quânticas

fótons, temperatura.

Tensor eletromagnético de tensão–energia

Na física relativística, o tensor eletromagnético tensão–energia é a contribuição para o tensor tensão–energia devido ao campo eletromagnético.[1] O tensor tensão–energia descreve o fluxo de energia e momento no espaço-tempo. O tensor eletromagnético de tensão–energia contém o negativo do tensor de tensão de Maxwell clássico que governa as interações eletromagnéticas.

Definição[editar | editar código-fonte]

Unidades do S.I.[editar | editar código-fonte]

No espaço livre e no espaço-tempo plano, o tensor eletromagnético tensão–energia em unidades do S.I. é:[2]

T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]\,.

onde $F^{\mu \nu }$ é o tensor eletromagnético e onde $\eta _{\mu \nu }$ é o tensor métrico de Minkowski [en] de assinatura métrica (− + + +). Ao usar a métrica com assinatura (+ − − −), a expressão à direita do sinal de igual terá sinal oposto.

Explicitamente em forma de matriz:

T^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)&{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&-\sigma _{\text{xx}}&-\sigma _{\text{xy}}&-\sigma _{\text{xz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&-\sigma _{\text{yx}}&-\sigma _{\text{yy}}&-\sigma _{\text{yz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}&-\sigma _{\text{zx}}&-\sigma _{\text{zy}}&-\sigma _{\text{zz}}\end{bmatrix}},

onde

\mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} ,

é o vetor de Poynting,

\sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)\delta _{ij}

é o tensor de tensão de Maxwell e c é a velocidade da luz. Assim, $T^{\mu \nu }$ é expresso e medido em unidades de pressão do S.I. (pascal).

Convenções de unidades C.G.S.[editar | editar código-fonte]

A permissividade do espaço livre e a permeabilidade do espaço livre em unidades gaussianas [en] c.g.s. são:

\epsilon _{0}={\frac {1}{4\pi }},\quad \mu _{0}=4\pi \,

então:

T^{\mu \nu }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]\,.

e na forma de matriz explícita:

T^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}{\frac {1}{8\pi }}\left(E^{2}+B^{2}\right)&{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&-\sigma _{\text{xx}}&-\sigma _{\text{xy}}&-\sigma _{\text{xz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&-\sigma _{\text{yx}}&-\sigma _{\text{yy}}&-\sigma _{\text{yz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}&-\sigma _{\text{zx}}&-\sigma _{\text{zy}}&-\sigma _{\text{zz}}\end{bmatrix}}

onde o vetor de Poynting se torna:

\mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .

O tensor tensão-energia para um campo eletromagnético em um meio dielétrico é menos bem compreendido e é o assunto da controvérsia não resolvida de Abraham – Minkowski.[3]

O elemento $T^{\mu \nu }\!$ do tensor tensão-energia representa o fluxo do μ-ésimo componente do quadrimomento do campo eletromagnético, $P^{\mu }\!$ , passando por um hiperplano ( $x^{\nu }$ é constante ). Representa a contribuição do eletromagnetismo para a fonte do campo gravitacional (curvatura do espaço-tempo) na relatividade geral.

Propriedades algébricas[editar | editar código-fonte]

O tensor eletromagnético tensão-energia tem várias propriedades algébricas:

É um tensor simétrico: $T^{\mu \nu }=T^{\nu \mu }$
O tensor $T^{\nu }{}_{\alpha }$ não tem traços: $T^{\alpha }{}_{\alpha }=0.$

Prova

Usando a forma explícita do tensor,

T_{\mu }^{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\left[\eta _{\mu \nu }F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-\eta _{\mu \nu }\eta ^{\mu \nu }{\frac {1}{4}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right]

Baixando os índices e usando o fato de que

$\eta ^{\mu \nu }\eta _{\mu \nu }=\delta _{\mu }^{\mu }$

T_{\mu }^{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\mu \alpha }F_{\mu \alpha }-\delta _{\mu }^{\mu }{\frac {1}{4}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right]

Então, usando

$\delta _{\mu }^{\mu }=4$ ,

T_{\mu }^{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\mu \alpha }F_{\mu \alpha }-F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right]

Observe que no primeiro termo, μ e α e apenas índices fictícios, então os renomeamos como α e β, respectivamente.

T_{\alpha }^{\alpha }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }-F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right]=0

T^{00}\geq 0

A simetria do tensor é como para um tensor tensão–energia geral na relatividade geral. O traço do tensor energia–momento é um escalar de Lorentz; o campo eletromagnético (e em particular as ondas eletromagnéticas) não tem escala de energia invariante de Lorentz, então seu tensor de energia-momento deve ter um traço de fuga. Essa ausência de traços eventualmente se relaciona com a falta de massa do fóton.[4]

Leis de conservação[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Leis de conservação

O tensor eletromagnético tensão–energia permite uma maneira compacta de escrever as leis de conservação de energia e de momento linear no eletromagnetismo. A divergência do tensor tensão–energia é:

\partial _{\nu }T^{\mu \nu }+\eta ^{\mu \rho }\,f_{\rho }=0\,

onde $f_{\rho }$ é a força de Lorentz (4D) por unidade de volume na matéria.

Esta equação é equivalente às seguintes leis de conservação 3D

{\begin{aligned}{\frac {\partial u_{\mathrm {em} }}{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {S} +\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {p} _{\mathrm {em} }}{\partial t}}-\mathbf {\nabla } \cdot \sigma +\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} &=0\ \Leftrightarrow \ \epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}-\nabla \cdot \mathbf {\sigma } +\mathbf {f} =0\end{aligned}}

descrevendo respectivamente o fluxo de densidade de energia eletromagnética

u_{\mathrm {em} }={\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\,

e densidade de momento eletromagnético

\mathbf {p} _{\mathrm {em} }={\mathbf {S}  \over {c^{2}}}

onde J é a densidade de corrente elétrica, ρ a densidade de carga elétrica e $\mathbf {f}$ é a densidade de força de Lorentz.

Em física e matemática, espaço de Minkowski, também tratada de métrica de Minkowski, é a configuração matemática na qual a teoria da relatividade especial de Einstein é mais comumente formulada. Nessa configuração as três dimensões usuais do espaço são combinadas com uma única dimensão do tempo para formar uma variedade quadrimensional para representar um espaço-tempo.

O espaço de Minkowski possui este nome em referência ao matemático alemão Hermann Minkowski.

Estrutura[editar | editar código-fonte]

Formalmente, o espaço de Minkowski é um campo vetorial real quadrimensional equipado com uma forma bilinear simétrica, não degenerada, com assinatura (-,+,+,+).

Elementos do espaço de Minkowski são chamados eventos ou quadrivetores.

Espaço de Minkowski é freqüentemente denotado R1,3 para enfatizar a assinatura, entretanto é também denotada M 4 ou simplesmente M.

O Produto interno no espaço de Minkowski[editar | editar código-fonte]

O que se chama de produto interno no espaço de Minkowski é similar ao produto interno euclidiano, com uma diferença fundamental: enquanto que em um produto interno a equação v.v = 0 tem como única solução o vetor nulo v = 0, no caso do espaço de Minkowski existem vários quadrivetores que a satisfazem.

Este produto interno gera uma geometria diferente da euclideana, a geometria geralmente associada a relatividade.

Considere $M$ sendo um vetor-espaço real quadrimensional. O produto interno Minkowski é uma função $\eta : M \times M \rightarrow \R$ (isto é, dado dois vetores quaisquer $V, W$ em $M$ define-se $\eta(V,W)$ como um número real) que satisfaz as propriedades (1), (2), (3) listadas aqui, bem como a propriedade (4) dada abaixo:

1. bilinear: $\eta (aU + V, W) \, = a \eta(U, W) + \eta(V, W)$ , ( $\forall a \in \R$ e $\forall U, V, W \in M$ )

2. simétrica: $\eta (V, W) \, = \eta (W, V)$ ( $\forall V, W \in M$ )

3. não degenerada: se $\eta (V, W) \, = 0$ $\forall W \in M$ , então $V \, = 0$ ,

Tensor de curvatura de Ricci

Em geometria diferencial, o tensor de curvatura de Ricci, ou simplesmente tensor de Ricci, é um tensor bivalente, obtido como um traço do tensor de curvatura. Pode ser pensado como um laplaciano do tensor métrico no caso das variedades de Riemann. Nas dimensões 2 e 3, o tensor de curvatura é determinado totalmente pela curvatura de Ricci. Pode-se pensar na curvatura de Ricci em uma variedade de Riemann como um operador no espaço tangente. Se este operador é simplesmente multiplicado por uma constante, então temos variedade de Einstein. A curvatura de Ricci é proporcional ao tensor métrico neste caso. Esse é mais um caso especial de tensor de Riemann, tendo uma contração em alguns índices seus, como o seguinte exemplo:

{R_{ij}=R_{iaj}^{a}=\partial _{b}\Gamma _{ji}^{b}-\partial _{j}\Gamma _{bi}^{b}+\Gamma _{bc}^{b}\Gamma _{ji}^{c}-\Gamma _{jc}^{b}\Gamma _{bi}^{c}}

sendo o símbolo de Christoffel representado por

{\Gamma _{\alpha \beta }^{\rho }={\frac {1}{2}}g^{\rho \lambda }(g_{\alpha \lambda ,\beta }+g_{\lambda \beta ,\alpha }-g_{\beta \alpha ,\lambda })}

Definição[editar | editar código-fonte]

A curvatura de Ricci pode ser explicada em termos da curvatura seccional da seguinte maneira: para um vector unitário v, <R(v), v > é soma das curvaturas seccionais de todos os planos atravessados pelo vector v e um vector de um marco ortonormal que contém v (há n-1 de tais planos). Aqui R(v) é a curvatura de Ricci como um operador linear no plano tangente, e <.,.> é o produto interno. A curvatura de Ricci contém a mesma informação que todas as tais somas sobre todos os vectores unitários. Nas dimensões 2 e 3 este é o mesmo que especificar todas as curvaturas seccionais ou o tensor de curvatura, mas em dimensões mais altas a curvatura de Ricci contém menos informação. Por exemplo, as variedades de Einstein não têm que ter curvatura constante nas dimensões 4 ou maiores.

Aplicações do tensor de curvatura de Ricci[editar | editar código-fonte]

A curvatura de Ricci pode ser utilizada para definir as classes de Chern de uma variedade, que são invariantes topológicos (portanto independentes da escolha da métrica). A curvatura de Ricci também é utilizada no fluxo de Ricci, onde uma métrica é deformada na direção da curvatura de Ricci. Em superfícies, o fluxo produz uma métrica de curvatura de Gauss constante e segue o teorema de uniformização para as superfícies. A curvatura de Ricci desempenha um papel importante em relatividade geral, onde é o termo dominante nas equações de campo de Einstein.

Topologia global e a geometria de curvatura de Ricci positiva[editar | editar código-fonte]

O teorema de Myers estabelece que se a curvatura de Ricci é limitada por baixo em uma variedade completa de Riemann por $\left(n-1\right)k>0\,\!$ , então seu diâmetro é $\leq \pi /{\sqrt {k}}$ , e a variedade tem que ter um grupo fundamental finito. Se o diâmetro é igual a $\pi /{\sqrt {k}}$ , então a variedade é isométrica a uma esfera de curvatura constante k.

A desigualdade de Bishop-Gromov estabelece que se a curvatura de Ricci de uma variedade m-dimensional completa de Riemann é ≥0 então o volume de uma esfera é menor ou igual ao volume de uma esfera de mesmo raio no m-espaço euclideano. Mais ainda, se $v_{p}(R)$ denota o volume da bola com centro p e raio $R$ na variedade e o $V(R)=c_{m}R^{m}$ denota o volume da bola de raio R no m-espaço euclidiano então a função $v_{p}(R)/V(R)$ é não crescente (a última desigualdade pode ser generalizada a uma cota de curvatura arbitrária e é o ponto dominante na prova do teorema de compacidade de Gromov).

O teorema de partição de Cheeger-Gromoll indica isso se uma variedade completa de Riemann com o Ricci ≥ 0 tem uma linha reta (ou seja, uma geodésica minimizante infinita de ambos os lados) então é isométrica a um espaço R x L, onde L é uma variedade de Riemann.

Todos os resultados acima mencionados demonstram que a curvatura de Ricci positiva tem certo significado geométrico, em contrário, a curvatura negativa não é tão restritiva, em particular como foi demonstrado por Joachim Lohkamp, qualquer variedade admite uma métrica de curvatura negativa.

Tensor de Einstein

Em geometria diferencial, o tensor de Einstein (também tensor de traço revertido de Ricci), nomeado em relação a Albert Einstein, é usado para expressar a curvatura de uma variedade de Riemann. Em relatividade geral, o tensor de Einstein aparece nas equações de campo de Einstein para a gravitação descrevendo a curvatura do espaço-tempo.

Definição[editar | editar código-fonte]

O tensor de Einstein $\mathbf {G}$ é um tensor de ordem definido sobre variedades riemannianas. Ele é definido como

\mathbf {G} =\mathbf {R} -{\frac {1}{2}}\mathbf {g} R,

sendo $\mathbf{R}$ o tensor de Ricci, ${\mathbf {g}}$ o tensor métrico e $R$ o escalar de curvatura de Ricci. Em notação com índices, o tensor de Einstein tem a forma

G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

O tensor de Einstein é simétrico, visto que o tensor de Ricci e o tensor métrico são simétricos,

G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }\,

O tensor de Einstein tem divergência nula, como pode-se demonstrar combinando as equações de campo de Einstein ao fato de que o tensor de energia-momento tem divergência nula

G^{\mu \nu }{}_{;\nu }=0\,.

abril 23, 2023

CARACTERÍSTICA, VAREIDADE E SUPERFÍCIE DE GRACELI [GEOMETRIA, TOPOLOGIA E TOPOGEOMETRIA GRACELI.

$({\mathcal {M}},\{\phi _{\alpha }\},g)$ [+ FLUXOS VARIÁVEIS / TEMPO].

$\chi (S)=V-A+F\,$ [+ FLUXOS VARIÁVEIS / TEMPO].

geometric,optical illusion,minimal,black and white,minimalist,art,abstract,digital art,perfect loop,minimalism,op art,moire,the blue square

A característica de Euler de uma superfície $S\,$ é dada por $\chi (S)=V-A+F\,$ , onde $V,A\,$ e $F\,$ são respectivamente o número de vértices, arestas e faces de uma triangulação de $S\,$ . Em particular a característica de Euler:[3]

Uma variedade de Riemann é uma generalização do conceito métrico, diferencial e topológico do espaço euclidiano a objetos geométricos que localmente tem a mesma estrutura que o espaço euclidiano mas globalmente podem representar forma "curva". Com efeito, os exemplos mais simples de variedades de Riemann são precisamente superfícies curvas de $\mathbb{R} ^{3}$ e subconjuntos abertos de $\mathbb{R} ^{n}$ .

A estrutura matemática da geometria riemanniana permite estender a subconjuntos curvos ou hipersuperfícies do espaço euclidiano, as noções métricas de comprimento de uma curva, área de uma superfície, (hiper)volume ou ângulo entre duas curvas. Isto é realizado definindo-se em cada ponto um objeto matemático chamado tensor métrico que permite especificar um procedimento para medir distâncias, e portanto definir qualquer outro conceito métrico baseado em distâncias e suas variações.

O comprimento de uma curva

\gamma (t)

é definido pela integração dos comprimentos dos vetores tangente em cada curva de tempo

t

Do ponto de vista matemático una variedade de Riemann é um tripleto do tipo:

({\mathcal {M}},\{\phi _{\alpha }\},g)

Onde:

({\mathcal {M}},\{\phi _{\alpha }\})

é uma variedade diferenciável na que se tenha especificado o conjunto de cartas locais.

g\,

é uma aplicação bilinear definida positiva desde o espaço tangente à variedade:

g:TM\times TM\to \mathbb {R} .

Em particular, a métrica g permite definir em cada espaço tangente uma norma ||.|| mediante

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