MECÂNICA GENRALIZADA GRACELI - QUÂNTICA QUÍMICA RELATIVISTA DIMENSIONAL TENSORIAL [480]

FÍSICA GRACELI TENSORIAL QUÂNTICA.

$equação Graceli quântica []$

$\psi ^{*}$

equação Graceli tensorial quântica [1]

$G_{\mu \nu }\$

$T_{\mu \nu }$ = tensor energia momentum

$G_{\mu \nu }\$ = tensor quântico de Graceli.

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ [DR] = $F^{\mu \nu }$ $T^{\mu \nu }$ $P^{\mu }\!$ $\eta _{\mu \nu }$ =

G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ [DR] = $F^{\mu \nu }$ $T^{\mu \nu }$ $P^{\mu }\!$ $\eta _{\mu \nu }$ =

EQUAÇÃO QUÂNTICA TENSORIAL GRACELI.

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ [DR] = ${\hat {H}}$ $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ $F^{\mu \nu }$ $T^{\mu \nu }$ $P^{\mu }\!$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ [DR] = É O TENSOR GRACELI TENSÃO ENERGIA DE FLUXOS DE DILATAÇÕES E RETRAÇÕES COM CURVATURAS E SIMÉTRICO .

G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ [DR] = $F^{\mu \nu }$ $T^{\mu \nu }$ $P^{\mu }\!$ $\eta _{\mu \nu }$ =

G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ [DR] = É O TENSOR GRACELI TENSÃO ENERGIA DE FLUXOS DE DILATAÇÕES E RETRAÇÕES COM CURVATURAS E SIMÉTRICO .

$P^{\mu }\!$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$

Em física teórica, a simetria conformal (ou simetria conforme) é uma simetria sob dilatação (invariância de escala^[1]) e sob as transformações especiais conformes. Em conjunto com o grupo de Poincaré esses geram o grupo de simetria conformada.^[2]

Transformação conforme[editar | editar código-fonte]

Simetria conformal sob a especial transformação conforme com as seguintes relações.

[P_{\mu },P_{\nu }]=0,

[D,K_{\mu }]=-K_{\mu },

[D,P_{\mu }]=P_{\mu },

[K_{\mu },K_{\nu }]=0,

[K_{\mu },P_{\nu }]=\eta _{\mu \nu }D-iM_{\mu \nu },

/

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

onde $�$ gera translações, $�$ gera transformações de escala como um escalar e $K_{\mu }$ gera as transformações conformes especiais como um vetor covariante ^[3] sob transformações de Lorentz.

Spin de partículas elementares[editar | editar código-fonte]

Partículas elementares, tais como os fótons, elétrons e os quarks, são partículas que não podem ser divididas em partes menores. Teorias e estudos experimentais têm mostrado que o spin, presente nessas partículas, não pode ser explicado por postulações clássicas, onde partículas menores tendem a orbitar em volta de um centro de massa. O spin que essas partículas apresentam é uma propriedade física intrínseca, como a propriedade de carga elétrica e massa. Na mecânica quântica, o momento angular de qualquer sistema é expresso pela equação abaixo:

$S=\hbar {\sqrt {s(s+1)}}$

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

Onde $\hbar$ é a constante de Planck reduzida ${\frac {h}{2\pi }}$ , e o número quântico do spin $s$ é uma fração na forma $s={\frac {n}{2}}$ , onde $n$ pode ser qualquer número inteiro não-negativo. Assim, $s$ pode assumir os valores 0, ${\textstyle {\ce {{\frac {1}{2}}}}}$ , 1, ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ , 2, etc. A fração do número quântico é a maior diferença entre o momento angular orbital do spin. O valor de $s$ depende unicamente do tipo de partícula, não podendo ser alterada de forma alguma, ao contrário da direção do spin.

Spin de partículas compostas[editar | editar código-fonte]

O spin de partículas compostas, tais como próton, constituído pela soma dos spins das partículas em órbita em determinado momento angular. O spin de partículas compostas está sujeita às mesmas leis que regem o spin de partículas elementares. Partículas compostas sofrem spin sob circunstâncias matemáticas determinadas, tais como as partículas elementares; por exemplo, o spin de um próton é igual a ${\textstyle {\ce {-{\frac {1}{2}}}}}$ , da mesma forma que um pósitron.

Spin de átomos e moléculas[editar | editar código-fonte]

O spin de átomos e moléculas é igual a soma dos spins dos elétrons constituintes de cada um. Mais sobre o assunto, consulte paramagnetismo.

Formulação Matemática[editar | editar código-fonte]

Todas as partículas elementares, tais como: prótons, nêutrons, elétrons, etc. possuem um momento angular intrínseco chamado SPIN, símbolo S. Não existe análogo clássico que poderia permitir a definição de spin, tal como

${\vec {S}}={\vec {r}}\wedge {\vec {p}}_{s}={\vec {r}}\times {\vec {p}}_{s}$

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

duma maneira similar à definição do momento angular orbita

${\vec {L}}={\vec {r}}\wedge {\vec {p}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}$

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

O módulo de S é ${\frac {1}{2}}\hbar$ .

Spin é uma propriedade interna da partícula, como a massa ou a carga .

Constitui uma coordenada ou grau de liberdade adicional na formulação da mecânica quântica.

Regras de Comutação[editar | editar código-fonte]

Estas são exatamente as mesmas que as do momento angular orbital, isto é:

$\lfloor {{\check {S}}_{x},{\check {S}}_{y}}\rfloor =i\hbar {\check {S}}_{z}$ , etc

$\lfloor {{\check {S}}^{2},{\check {S}}_{z}}\rfloor =0$ , etc

$\lfloor {{\check {S}}_{z},{\check {S}}_{+}}\rfloor =\hbar {\check {S}}_{+}$ , etc

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

Funções de onda ou Spinores[editar | editar código-fonte]

Estas são denotadas por $|s\mu \rangle$ onde ${\textstyle s={\frac {1}{2}}}$ e ${\textstyle \mu =\pm {\frac {1}{2}}}$ .^[1]

De modo que o estado de spin para cima será denotado por:

$\chi _{\text{up}}={\Bigg (}{\frac {1}{0}}{\Bigg )}={\Bigg |}{\frac {1}{2}}{\frac {1}{2}}{\Bigg \rangle }$

$/$

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

e o estado de a spin para baixo por

$\chi _{\text{down}}={\Bigg (}{\frac {0}{1}}{\Bigg )}={\Bigg |}{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}{\Bigg \rangle }$

$/$

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

Os spinores são, simultaneamente, auto-funções dos operadores de spin ${\check {S}}^{2}$ e ${\check {S}}^{z}$ :

${\begin{aligned}&S^{2}{\Bigg |}{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}{\Bigg \rangle }={\frac {1}{2}}{\Bigg (}{\frac {1}{2}}+1{\Bigg )}\hbar ^{2}{\Bigg |}{\frac {1}{2}}{\frac {1}{2}}{\Bigg \rangle }={\frac {3}{4}}\hbar ^{2}{\Bigg |}{\frac {1}{2}}{\frac {1}{2}}{\Bigg \rangle }\\&S_{z}{\Bigg |}{\frac {1}{2}}{\frac {1}{2}}{\Bigg \rangle }={\frac {1}{2}}\hbar {\Bigg |}{\frac {1}{2}}{\frac {1}{2}}{\Bigg \rangle }\;e\;S_{z}{\Bigg |}{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}{\Bigg \rangle }=-{\frac {1}{2}}\hbar {\Bigg |}{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}{\Bigg \rangle }\end{aligned}}$

$/$

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

Assim, a álgebra dos operadores de momento angular orbital pode ser aplicada diretamente para os operadores de spin.^[1]

Na física quântica, a interação spin-órbita (também chamado efeito spin-órbita ou acoplamento spin-órbita) é qualquer interação de partículas de spin com seu movimento. O primeiro e mais conhecido exemplo disto é que a interação spin-órbita provoca mudanças nos níveis de energia atômica de elétrons devido a uma interação entre o momento de dipolo magnético do spin e o campo magnético interno do átomo gerado pela órbita do elétron em torno do núcleo. Isto é detectável como uma divisão de linhas espectrais. Um efeito similar, devido à relação entre o momento angular e da força nuclear forte, ocorre por prótons e nêutrons em movimento dentro do núcleo, levando a uma mudança nos seus níveis de energia no modelo de concha do núcleo. No campo da spintrônica, os efeitos spin-órbita de elétrons em semicondutores e outros materiais são explorados para aplicações tecnológicas.^[1] A interação spin-órbita é uma das causas da anisotropia magnetocristalina.

Momentos angulares e momentos magnéticos (imagem semi-clássica)[editar | editar código-fonte]

Uma corrente numa espira tem associado a ela um momento magnético dado por:

${\vec {\mu }}=I.{\vec {A}}$ .

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

Nessa expressão $\scriptstyle I$ é a intensidade da corrente e $\scriptstyle {\vec {A}}$ é o vetor área cuja direção é perpendicular ao plano da espira e o sentido é consistente com a regra do parafuso de rosca direita:

$A=\pi .r^{2}$

$/$

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

e i = carga do electrão X número de vezes por segundo que o electrão passa num dado ponto = e.f onde f é a frequência de rotação do electrão.

Módulo do momento de dípolo magnético

$|{\vec {\mu }}|=I.A=(e.f).(\pi .r^{2})$

Cuja direção é oposta a do momento angular orbital $\scriptstyle {\vec {L}}$ porque o electrão possui carga negativa.

Agora

$|{\vec {L}}|=m.v.r=.(2\pi .f.r)r=2mf\pi .r^{2}={\frac {2m}{e}}.|{\vec {\mu }}|$

$/$

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

Portanto

${\vec {\mu }}={\frac {e}{2m}}.{\vec {L}}$ (Z)

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

Dado que o momento angular é quantizado, temos:

${\vec {I}}=m\hbar {\hat {I}}$

Na primeira órbita de Bohr, m = 1 e a equação (Z) torna-se

${\vec {\mu }}_{i}={\frac {-e\hbar {\hat {I}}}{2m}}=-{\vec {\mu }}_{B}{\hat {I}}$ (Y)

onde $\mu _{B}$ é chamado magnetão de Bohr e o seu valor é dado por

$\mu _{B}={\frac {e\hbar }{2m}}$

Pode-se ver da Equação (Y) que $\scriptstyle {\vec {\mu }}_{i}$ é anti-paralelo ao momento angular orbital.

O rácio entre o momento magnético e o momento angular orbital é chamado o rácio giromagnético clássico,

$\gamma _{i}={\Bigg |}{\frac {{\vec {\mu }}_{i}}{\vec {I}}}{\Bigg |}={\frac {e}{2m}}={\frac {\mu _{B}}{\hbar }}$ (X)

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

O momento angular de spin também possui um momento magnético a ele associado.

O seu rácio giromagnético é aproximadamente duas vezes o valor clássico para o momento orbital, isto é,

$\gamma _{s}={\Bigg |}{\frac {{\vec {\mu }}_{s}}{\vec {S}}}{\Bigg |}={\frac {e}{m}}$ (K)/

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

Isso significa que o spin é duas vezes mais eficaz em produzir um momento magnético do que o momento angular.

Equações (X) e (K) são muitas vezes combinados, escrevendo

$\gamma ={\frac {ge}{2m}}$

$/$

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

onde a grandeza g é chamada o fator de divisão espectroscópico. Para momentos angulares orbitais g = 1, para spin apenas g ≈ 2 (embora experimentalmente g = 2 004).

Para os Estados que são misturas de momento angular orbital e momento angular de spin, g não é inteiro .

Dado que

$s={\frac {1}{2}}\hbar$

O momento magnético devido ao spin do electrão é:

$\mu _{s}=\gamma _{s}|{\vec {s}}|={\frac {e}{m}}.{\frac {\hbar }{2}}=\mu _{B}$

$/$

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

Assim, a menor unidade de momento magnético para o electrão é o magnetão de Bohr, quer se combine momento angular orbital ou spin.

A interação spin-órbita (mecânica quântica)[editar | editar código-fonte]

Na inclusão introdutória do spin na função de onda de Schrodinger, supõe-se que as coordenadas do spin são independentes das coordenadas do espaço de configuração.^[2]

Assim, a função de onda total é escrita como uma função de produto.

$\Psi _{\text{total}}=\psi _{nlm}(r,\theta ,\phi ).\chi (spin).e^{-iE_{n}t/\hbar }$

$/$

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

$\Psi _{\text{total}}={\Bigg |}R_{nl}.e^{-i.E_{n}{\frac {t}{\hbar }}}{\Bigg \rangle }.|l,m\rangle .|s,m_{s}\rangle$ (P)

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

A suposição feita acima implica que não existe interação entre L e S, i.e

$\lfloor {\hat {L}},{\hat {S}}\rfloor =0$

Neste caso, $\scriptstyle \Psi _{\text{total}}$ é uma auto-função de ambos $\scriptstyle L_{z}$ e $\scriptstyle S_{z}$ e portanto $\scriptstyle m_{l}$ e $\scriptstyle m_{s}$ são bons números quânticos; em outras palavras, as projeções de $\scriptstyle {\vec {L}}$ e $\scriptstyle {\vec {S}}$ são constantes do movimento.

Mas na verdade existe uma interação entre $\scriptstyle {\vec {L}}$ e $\scriptstyle {\vec {S}}$ chamada interação Spin-Órbita expressa em termos da grandeza $\scriptstyle {\vec {L}}.{\vec {S}}$ .

Dado que $\scriptstyle {\vec {L}}.{\vec {S}}$ não comuta quer com $\scriptstyle {\vec {L}}$ ou com $\scriptstyle {\vec {S}}$ , a equação (P) torna-se incorreta e $\scriptstyle m_{l}$ e $\scriptstyle m_{s}$ deixam de ser bons números quânticos.

Nós imaginamos a interação spin-órbita como o momento magnético spin estacionária interagindo com o campo magnético produzido pelo núcleo orbitante.

No sistema de referência de repouso do electrão, há um campo eléctrico

${\vec {\varepsilon }}={\frac {Ze}{r^{2}}}{\hat {r}}$

Onde $\scriptstyle {\hat {r}}$ dirige‐se do núcleo em direção ao electrão.

Assumindo que $\scriptstyle {\vec {v}}$ é a velocidade do electrão no sistema de referência de repouso do núcleo, a corrente produzida pelo movimento nuclear é:

${\vec {j}}=-{\frac {Ze}{c}}{\vec {v}}$

No sistema de referência de repouso do electrão.

Portanto

${\vec {H}}_{e}=-{\frac {Ze}{c}}{\frac {{\vec {v}}\wedge {\hat {r}}}{r^{2}}}=-{\frac {1}{c}}{\vec {v}}\wedge {\vec {\varepsilon }}$

$/$

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

O momento de spin do electrão realiza um movimento precessional neste campo com frequência de Larmor:

${\vec {\omega }}_{e}=\gamma {\vec {H}}_{e}=-{\frac {e}{m_{0}c^{2}}}{\vec {v}}\wedge \varepsilon$

$/$

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

Com energia potencial

$E_{e}=-{\vec {\mu }}_{s}.{\vec {H}}_{e}=-{\vec {\omega }}_{e}.{\vec {S}}$

$/$

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

As equações acima são válidas no quadro de referência de repouso electrão.

A Transformação para o sistema de referência de repouso do núcleo introduz um fator de ½ - chamado o fator de Thomas. [Isto pode ser mostrado, calculando o tempo dilatado entre os dois sistemas de referência em repouso].^[2]

Portanto, um observador no sistema de referência de repouso do núcleo poderia observar o electrão a realizar um movimento de precessão com uma velocidade angular de

${\vec {\omega }}_{L}=-{\frac {e}{2m_{0}c^{2}}}{\vec {v}}\wedge {\vec {\varepsilon }}$ (T)

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

e por uma energia adicional dada por

$\Delta E=-{\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}_{e}.{\vec {S}}$

$/$

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

As duas Eqs acima podem ser colocadas em uma forma mais geral, restringindo o V ser qualquer potencial central com simetria esférica.

De forma que

${\vec {F}}=-{\hat {r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}=e{\vec {\varepsilon }}$

e então

${\vec {v}}\wedge {\vec {\varepsilon }}={\frac {1}{e}}{\frac {\partial V}{\partial r}}{\vec {v}}\wedge {\vec {r}}={\frac {1}{em_{0}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}{\vec {L}}$

$/$

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

A equação (T) torna-se então

${\vec {\omega }}_{L}=+{\frac {1}{2m_{0}^{2}c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}{\vec {L}}$

$/$

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

E a energia adicional

$\Delta E=+{\frac {1}{2m_{0}^{2}c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}{\vec {L}}.{\vec {S}}$

$/$

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

O produto escalar

${\vec {L}}.{\vec {S}}=m\hbar s$

Para spin = ½

${\vec {L}}.{\vec {S}}=m\hbar .{\frac {1}{2}}\hbar ={\frac {1}{2}}m\hbar ^{2}$

$/$

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

A separação energética se torna então

$|\Delta E|={\frac {\hbar ^{2}m}{4m_{0}^{2}c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}$

$/$

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

Para o potencial de Coulomb a separação energética pode ser aproximada por:

$\Delta E={\frac {\lambda _{c}^{2}mZe^{2}}{r^{3}}}$

$/$

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

Onde

$\lambda _{c}={\frac {h}{m_{o}c}}$

$/$

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

é o comprimento de onda de Compton

$\lambda _{c}={\frac {h}{m_{o}c}}$ ou ${\frac {\lambda _{c}}{2\pi }}$

$/$

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

Um resultado útil no cálculo é citado sem prova. O valor médio de $\scriptstyle {\frac {1}{r^{3}}}$ i.e.

${\Bigg \langle }{\frac {1}{r^{3}}}{\Bigg \rangle }={\frac {Z^{2}}{a_{o^{2}}n^{2}l{\Bigg (}l+{\frac {1}{2}}{\Bigg )}(l+1)}}$

$/$

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

para $\scriptstyle l\neq 0$

De modo que a separação energética se torna

$\Delta E={\frac {{\bar {\lambda }}_{c}^{2}m_{i}Z^{3}e}{a_{0}^{2}n^{2}l(l+1/2)(l+1)}}$

$/$

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$G_{\mu \nu }\$

$\psi ^{*}$

para $\scriptstyle l\neq 0$

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